Задачка для средней школы

[m61]

Листая журнал "Квант" (по своей дурацкой привычке - перед сном, уже лежа в постели, стопка этих журналов лежит на стеллаже рядом), натолкнулся на следующую забавную задачку:

Имеется 2000 монет, из которых две - фальшивые: одна легче настоящей, а другая тяжелее. Как за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь установить, что больше: суммарный вес двух фальшивых монет или суммарных вес двух настоящих монет; или же эти веса равны?

После короткого, но весьма интенсивного мозгового штурма (ярость которого сильно подстегивалась оскорбительным заголовком задачи - "для 9 класса") сна, разумеется, уже не было ни в одном глазу - собственно, именно поэтому я и называю данную привычку "дурацкой", ведь происходит подобное со мной уже далеко не первый раз.

А еще заснуть мне мешала горечь - ведь в то время (я листал номер журнала, вышедший в 89 году) такая задачка действительно была "на одну левую" многим девятиклассникам. Ну, а сколько нынешних (кроме учеников единичных элитных спецшкол) сумеют ее одолеть?

И эта горечь - тоже стала для меня уже привычной...

Comments

[c-cheburator.livejournal.com]

В моем третьем взвешивании я точно знаю, в какой из двух объединенных групп(A+B и С+D) находятся две фальшивки. При сравнении группы с двумя фальшиывми монетами с группой из настоящих монет видно, какая группа весит больше. Из чего следует вывод - либо фальшивки весят больше, либо меньше настоящих.

[m61.livejournal.com]

Все верно. Но ты должен точно сказать - "фальшивки весят больше". Или - "фальшивки весят меньше". Пока же ты только сказал, что их вес не равен весу настоящих - но направление неравенства указать не можешь.

[c-cheburator.livejournal.com]

Почему? Если я знаю, что фальшивки в группе AB и группа AB весит больше группы CD (где только настоящие монеты), я говорю: две фальшивки суммарно весят больше двух настоящих монет.
Если AB < CD, я говорю: две фальшивки суммарно весят меньше двух настоящих монет.

[m61.livejournal.com]

Я говорю про пункт 5.1 - откуда ты знаешь, что взяв большую + меньшую по весу подгруппы - ты получишь группу, в которой сосредоточены именно две фальшивки, а не только настоящие монеты? Ведь в другой группе - тоже же будут меньшая + большая по весу подгруппы из предыдущего взвешивания? В чем тогда разница между этим двумя группами?

То есть: да, ты знаешь (ты все определил правильно), что в одной из этих групп две фальшивки, а в в другой - только настоящие монеты. Но ты не знаешь - какая из этих групп какая, пардон за каламбур.

[c-cheburator.livejournal.com]

Тогда нужно будет 4-е взвешивание на равенство тех двух оставшихся групп (из п. 5.1). Тогда узнаем, настоящие там монеты или нет. Впрочем, подумаю еще, почему же у меня вышло три взвешивания. И я так уверен был, что все, хватит.

[m61.livejournal.com]

Если что придумаешь - сразу же пиши. Мне очень интересно. :)

[c-cheburator.livejournal.com]

Ты прав. При таком алгоритме - 4 взвешивания. В п. 5.1 я всё-таки упустил, что не буду точно знать в какой объединенной группе окажутся фальшивки.

[alitet-1.livejournal.com]

У вас есть рациональное зерно. Но оно погребено под слоем шелухи. Найдите его, вернитесь к началу - и всё получится.