Задачка для средней школы

[m61]

Листая журнал "Квант" (по своей дурацкой привычке - перед сном, уже лежа в постели, стопка этих журналов лежит на стеллаже рядом), натолкнулся на следующую забавную задачку:

Имеется 2000 монет, из которых две - фальшивые: одна легче настоящей, а другая тяжелее. Как за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь установить, что больше: суммарный вес двух фальшивых монет или суммарных вес двух настоящих монет; или же эти веса равны?

После короткого, но весьма интенсивного мозгового штурма (ярость которого сильно подстегивалась оскорбительным заголовком задачи - "для 9 класса") сна, разумеется, уже не было ни в одном глазу - собственно, именно поэтому я и называю данную привычку "дурацкой", ведь происходит подобное со мной уже далеко не первый раз.

А еще заснуть мне мешала горечь - ведь в то время (я листал номер журнала, вышедший в 89 году) такая задачка действительно была "на одну левую" многим девятиклассникам. Ну, а сколько нынешних (кроме учеников единичных элитных спецшкол) сумеют ее одолеть?

И эта горечь - тоже стала для меня уже привычной...

Comments

[m61.livejournal.com]

Правильный ответ я знаю, штурм таки увенчался успехом. :)

[m61.livejournal.com]

Да, штурм действительно был яростный, но короткий. :)

А вот на следующей задачей я определенно больше времени провел:

Докажите, что если a, b, c - длины сторон треугольника и a + b +c = 1, то справедливо неравенство

a^2 + b^2 +c^2 +4abc < 1/2.

Исписал несколько листов бумаги, возводил в степени, вспоминал (точнее - выводил) соотношения между средним арифметическим и средним геометрическим - а в итоге оказалось, что задачка легко решается в уме. :)

[igor-rewa.livejournal.com]

Да, штурм действительно был яростный, но короткий. :)
Ага, короткий... Это уж у кого как. Лично я вчера больше часа уснуть не мог, всё, что было, в уме перевешал, а потом мне приснился азербайджанец на рынке с помидорами, два из которых маринованные... :)

[m61.livejournal.com]

Примерно таким же образом Менделееву приснилась его таблица. ;)

[pilot-pirks.livejournal.com]

Хм. Методом строгой логики удалось в "лоб" доказать, что эта сумма заведомо меньше, 5/4. Также понятно, что если устремить две стороны к половине, то последняя стремиться к 0 а вся сумма стремиться к 1/2. Это было бы решением, но пока не могу доказать, что максимум функции будет именно при таких параметрах. :(

[m61.livejournal.com]

Мой метод был следующий:

Из неравенства треугольника сразу находим, что, например, с < 1/2. Так как все слагаемые в выражении положительны, то, взяв с = 1/2, мы получаем следующую оценку сверху:

a^2 + b^2 +c^2 + 4abc < a^2 + b^2 +(1/2)^2 + 4ab*1/2 = a^2 + b^2 + 2ab + 1/4 = (a+b)^2 +1/4

А так как при с=1/2 из условия a+b+c=1 мы имеем, что a+b тоже = 1/2, то (a+b)^2 +1/4 = (1/2)^2 + 1/4 = 1/4 +1/4 =1/2

И, окончательно:

a^2 + b^2 +c^2 + 4abc < 1/2

Q.E.D.

[pilot-pirks.livejournal.com]

Да.Все правильно. А максимум действительно будет только в том случае когда треугольник вырождается в прямую..