Парадокс близнецов

[m61]

Всем, я думаю, известен знаменитый парадокс близнецов. Но на всякий случай – кратко его напомню: есть два близнеца, один из которых остается на Земле, а другой – улетает на звездолете, который летит с околосветовой скоростью. В соответствии с формулами СТО, улетевший близнец будет стареть медленнее, и вернется на Землю полный сил, в то время, как оставшийся близнец превратится в дряхлого старика.

Но, с другой стороны, по принципу относительности мы можем сказать, что, наоборот, это Земля улетает, а звездолет остается на месте. Значит, дряхлым стариком должен стать как раз близнец на звездолете.

Такова суть парадокса. И решение его известно: равноправны только инерциальные системы отсчета, звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной.

Однако это все слова, а можно ли на уровне формул показать, что рассмотрение с точки зрения улетающего звездолета и с точки зрения "улетающей" Земли даст в итоге одинаковые численные результаты?

Лет 13 назад, на почившем сейчас форуме Нуль-Т сайта Русской Фантастики в ходе одного жаркого спора я эти вычисления таки проделал. Кому интересно – добро пожаловать под кат.



Сначала рассмотрим ситуацию с точки зрения остающегося на Земле близнеца. Система отсчета, связанная с ним, инерциальна, так что в данном случае мы можем пользоваться формулами СТО

Для промежутка времени, измеренного в этой системе, получаем:

Где:

- время разгона ракеты, - время свободного полета, - время торможения, - время нового разгона, - время свободного полета в обратном направлении, - время торможения на финише.

Из соображений симметрии: .

Таким образом:



Аналогично для ракеты:



Для времени свободного полета, разумеется, выполняется классическое соотношение:



(время замедляется для близнеца на ракете)

Теперь, что касается времени разгона и торможения.

Величина 4-ускорения ракеты является постоянной величиной в любой инерциальной с.о., относительно которой движется ракета, и равняется ее 3-ускорению (a) в собственной с.о.

Раскрытие выражения для 4-ускорения в инерциальной с.о, связанной с остающимся близнецом, приводит к следующему выражению:



Или же:



Полагая v = 0 при t = 0, получаем const = 0.

Собственное же время ракеты задается следующим интегралом:



Из этого соотношения (вместе с формулой



получающейся путем еще одного интегрирования (1)) можно рассчитать, кстати, такой, кажущийся поразительным, факт, что при постоянном ускорении всего в одно g можно облететь всю видимую Вселенную за время жизни одного поколения на ракете.

Выражение (2) можно переписать в следующем виде:



Или же, воспользовавшись формулой (1):



А если принять во внимание, что:



(по определению), то



Или же:



Устремляя при постоянной скорости (v) ускорение к бесконечности (чтобы как можно быстрее набрать или сбросить эту скорость), получим, что должно стремится к нулю. Из формулы (1) аналогичный вывод получаем и для .

Выписываем:



То есть:



Окончательно:



как и должно быть.


Теперь проведем рассмотрение с точки зрения "неподвижной" ракеты и "улетающей" Земли.

В этой системе отсчета (собственной системе отсчета ракеты) она, как уже было сказано, неподвижна, зато в данной с.о. возникает (в силу принципа эквивалентности ОТО) эффективное гравитационное поле, в котором и "падает" наблюдатель на Земле (в отрицательном направлении оси x).

Во время первоначального разгона скалярный потенциал данного эффективного гравитационного поля описывается следующей формулой:



где - компонента 11 метрического тензора g.

При свободном движении ракеты гравитационное поле отсутствует. А когда приходит время промежуточного торможения, выражение для потенциала принимает следующий вид (так как ускорение имеет обратный знак):



Таким образом, задача перестает быть полностью симметричной. И:

(n - то есть рассматриваем в неинерциальной системе)

где - время начального разгона, - время свободного полета, - время промежуточного торможения.

Так как в собственной системе отсчета ракеты x = 0, то и гравитационной потенциал тоже всё время равен 0, и для по-прежнему имеем:



Получим теперь уравнение движения для "падающего" близнеца.

Общее выражение для уравнения движения в контравариантом виде:



Здесь Г - так называемые "символы Кристофеля" (коэффициенты связности). Эти коэффициенты выражаются через метрический тензор, и в пространстве-времени Минковского (, остальные нулевые) равны 0, так что в случае свободного полета получаем привычное уравнение движение СТО:



Во время же разгона и торможения компоненты метрического тензора следующие:

, остальные нулевые (по-прежнему), а вот

Расписывая уравнения движения при таком метрическом тензоре, получаем:



Решая это уравнение с начальными условиями при , получаем:



Скорость:



Время:



(в данном случае - время "падающего" вместе с Землей близнеца, t - близнеца на ракете)

Таким образом, для времени первоначального разгона из (4) получаем ():



Или, аналогично получению формулы (3):



Крайне легко видеть, что при стремлении a к бесконечности стремится к нулю.

Для времени промежуточного торможения (, где l - "глубина", на которую "упал" ко времени начала торможения близнец на Земле, ):



А вот здесь, как мы видим, даже при стремлении ускорения к бесконечности промежуток времени не стремится к 0, а, вместо этого, стремится к постоянной величине - и это является принципиальным отличием от выводов СТО.

Этот, кажущийся удивительным, результат обусловлен влиянием на часы "падающего" близнеца скалярного гравитационного потенциала , который при стремлении ускорения к бесконечности тоже стремится к бесконечности.

Окончательно получаем:





(теперь ситуация "обратная" - с точки зрения близнеца на ракете во время свободного полета время замедляется как раз на Земле).

Так как:



то:



Промежуточные торможение и разгон:



То есть:



(то, что "падающий" вместе с Землей "теряет" во время свободного полета, возмещается при промежуточном торможении и новом разгоне - на эффектах ОТО).

(по-прежнему)

Таким образом, и в этом случае:



Окончательно получаем, что загадка "парадокса близнецов" успешно решена - независимо от того, будем мы вести рассмотрение с точки зрения Земли или же ракеты - стареть будет меньше близнец на ракете.

Особенно интересно при этом выглядит рассмотрение с точки зрения ракеты - да, во время свободного полета стареть будет меньше близнец на Земле, зато во время промежуточных разгона и торможения процесс старения этого близнеца стремительно ускоряется, догоняя, а затем и перегоняя близнеца на ракете.

Comments

[roman-kr.livejournal.com]

Замечательно!

[regent.livejournal.com]

Я только сейчас наткнулся на эту статью. Очень хорошо! Даже нефизикам должно быть понятно. Кроме секты Неверующих в ТО, естественно. Они непробиваемы.

[victor-chapaev.livejournal.com]

Прекрасно, я так и думал, ждал этого

[taurus-ek.livejournal.com]

Мне не хватало решимости посчитать самому, хотя всегда было интересно. Спасибо.

[bachilo.livejournal.com]

И ведь не поспоришь :)

[ceitho.livejournal.com]

вот да

[regent.livejournal.com]

Вы недооцениваете народ. :)
Оспаривать можно всё, всегда и бесконечно. Вот, посмотрите на свежую дискуссию.
https://regent.livejournal.com/335004.html

[diofant.livejournal.com]

Спасибо! Очень интересно!

[greymage.livejournal.com]

Н-да. Это надо сесть и потратить неделю времени как минимум. Или две недели. Слишком давно ничего такого не считал.

Но, признаться, я так и не понимаю по какой причине эти две системы считаются по разным правилам. Почему появляется "зато в данной с.о. возникает (в силу принципа эквивалентности ОТО) эффективное гравитационное поле, в котором и "падает" наблюдатель на Земле (в отрицательном направлении оси x)."

[veldandi.livejournal.com]

Я тоже не поняла, но мой комментарий куда-то пропал.

(гравитация, как я понимаю, берется из дикой идеи, что ускорение стремится к бесконечности)

[yigal_s]

Интересно, а Эйнштейн и прочие физики могли что-то подобное посчитать, когда ОТО ещё не было, а была только СТО?
Т.е. можно ли было тогда в физике как-то обсчитывать ускоренные системы, вот тот же парадок близнецов?

[m61.livejournal.com]

В принципе, простейшие случаи посчитать можно. Например, с помощью так называемых "линий относительной одновременности".

[thagastan.livejournal.com]

Отлично!!!

[c-o-r-w-i-n.livejournal.com]

вау)

[ahiin.livejournal.com]

Хорошо то как)

[sanchos-f.livejournal.com]

Интересно!

[bebayesian.livejournal.com]

Как вы во всех этих формулах разбираетесь!?
А если без ускорений? Мимо Земли пролетает с постоянной скоростью корабль. Синхронизуем часы. Этот корабль глубоко в космосе встречает летящий навстречу (равномерно) другой корабль. Синхронизуем часы. Когда второй корабль пролетает мимо Земли, считываем время.
Мы ведь увидим "замедление" "двукорабельного" времени?

[zlata-gl.livejournal.com]

Увидим.
Две РАЗНЫЕ инерциальные системы не эквивалентны одной.

[jescid.livejournal.com]

> звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной

только если он летит от Земли по прямой и обратно :)
пространство траекторий может лежать в любом подмножестве квадратичных кривых и потому торможение ни разу не обязательно, разве что для момента встречи всё относительные скорости должны уйти в ноль

[m61.livejournal.com]

И на любой из этих траекторий звездолет будет испытывать ускорения - это должно быть ясно даже прошедшему обряд посвящения в теорфиз, думаю.

[iriska-spb.livejournal.com]

Ириска в восхищении!
действительно, приятно встретить кого-то умнее себя ;о)))

[nil-0.livejournal.com]

Можно, конечно, извратиться и рассмотреть всё в неинерциальных=криволинейных координатах, но метрика на то и метрика, чтобы результат вычисления собственного времени не зависел от системы координат.

А можно вопрос по СТО и ОТО ?

[zlata-gl.livejournal.com]

1. Сначала представим Землю в межгалактическом пространстве. Чтоб никто не мешал.
Планета с массой и радиусом Земли свободно живет в собственной инерциальной системе. Не вращается вокруг своей оси.
На ней стоят часы А. На них действует гравитационное поле напряженностью 10м/сек^2.
Далеко-далеко - космическая лаборатория В, покоящаяся относительно планеты А.
Там есть такие же часы.

Часы А идут чуть медленнее часов В.
Насколько, кстати ?

Вокруг планеты летает спутник С на малой высоте (атмосферы нет, она замерзла). Со скоростью 8 км/сек.
А как идут часы на нем ?
По сравнению с часами А и В ?

2. А теперь поищем условия при которых спутник будет летать вокруг более массивного центра со скоростью 1Е8 м/сек (=с/3) но при той же напряженности гравитационного поля.
g = V^2/R = 10.
Получаем
R=10^15м=0.1 св лет.

Масса в центре
g = G * M / R^2
M=R^2 *g / G = 1.6E41 кг = 8E10 солнечных масс, если не вру.
Примерно 0,1 от массы нашей Галактики.

Итак - получили объект, движущийся со скоростью с/3 в гравитационном поле напряженностью 1g (которое очень мало замедляет время).
С точки зрения удаленного наблюдателя - как на нем идут часы ?
С замедлением 5% ?

А если работать в ОТО в неинерциальной системе отсчета, связанной со спутником ?
Как описать удаленные часы и почему они опередят "наши" ?

[regent.livejournal.com]

Я только сейчас наткнулся на эту статью. Очень хорошо! Даже нефизикам должно быть понятно. Кроме секты Неверующих в ТО, естественно. Они непробиваемы.

[doctor-notes.livejournal.com]

Я вот прям только что внезапно наткнулся.
Отлично, ящетайу.

P.S. - Блин. Оказывается, я тут уже был и даже что-то комментировал. Склероз, старость.

[procurator0.livejournal.com]

увы все эти вычисления основаны на двух элементарных ошибках

"Но, с другой стороны, по принципу относительности мы можем сказать, что, наоборот, это Земля улетает, а звездолет остается на месте. Значит, дряхлым стариком должен стать как раз близнец на звездолете.

Такова суть парадокса. И решение его известно: равноправны только инерциальные системы отсчета, звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной."

1. земля ускоряется а звздлт - нет

2. формулу для 2ух мерной системы координат вы накладываете на одномерную.

так что все эти формулки это garbage in-garbage out.

[m61.livejournal.com]

Ну,что вы ничего не поймете - это было вполне ожидаемо, поверьте.

[doctor-notes.livejournal.com]

Эх.
Тёмка пока не потянет, 7-й класс.
Но сам прочитал с большим удовольствием)
Поставлю закладку, через годик с ним разберемся.

[whale-roma.livejournal.com]

Добрый вечер.

Я очень извиняюсь но не побоюсь спросить - откуда у любителей астрономии интерес к ракетам и звездолётам ? Я не могу этого понять. Я считаю, что любителям астрономии надо интересоватся оптикой - технологиями производства оптических стёкол, материалами для них и покрытий, технологиями обработки стекла, методиками юстировки оптических элементов относительно друг друга. Что-то летающее - это хорошо - напимер аэростат для запуска оптических приборов над уровнем облаков - у нас ведь всё время очень плохая погода; но этим как раз никто не интересуется совсем.

Вот характерный пример - Роберт Дэлби очень хороший дядечка, у него очень интересные видеорассказики и вдруг - ракеты, фон Браун: https://www.youtube.com/user/AstronomyAndNatureTV/videos . Я уже не говорю о том что Браун был членом "Союза Арийских Пчеловодов" и "Союза Арийских Землекопов", пулял ракетами в баб и детей и не исключено что убил кого-то из родственников Роберта, но зачем Роберту вообще топливный насос ? Я не могу этого понять. Я вообще против того чтобы гражданские лица интересовались оружием - гражданские не отдают себе отчёт в том - насколько оружие может быть опасным; в том числе и для тех кто его применяет.

[igor-au.livejournal.com]

Все можно сделать много проще. Время которое каждый из них измеряет по своим часам это просто длина кривой в пространстве-времени которые они описывают (по определению). Кривые разные, поэтому и времена разные. Тот кто остался дома, двигался в основном по геодезической (то есть с максимальной длиной), за это и поплатился.

[kaktus77.livejournal.com]

==А вот здесь, как мы видим, даже при стремлении ускорения к бесконечности промежуток времени не стремится к 0, а, вместо этого, стремится к постоянной величине - и это является принципиальным отличием от выводов СТО.

В СТО получается то же самое, конечно. Та же самая постоянная величина.