Парадокс близнецов
Oct. 1st, 2018 07:15 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
m61Всем, я думаю, известен знаменитый парадокс близнецов. Но на всякий случай – кратко его напомню: есть два близнеца, один из которых остается на Земле, а другой – улетает на звездолете, который летит с околосветовой скоростью. В соответствии с формулами СТО, улетевший близнец будет стареть медленнее, и вернется на Землю полный сил, в то время, как оставшийся близнец превратится в дряхлого старика.
Но, с другой стороны, по принципу относительности мы можем сказать, что, наоборот, это Земля улетает, а звездолет остается на месте. Значит, дряхлым стариком должен стать как раз близнец на звездолете.
Такова суть парадокса. И решение его известно: равноправны только инерциальные системы отсчета, звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной.
Однако это все слова, а можно ли на уровне формул показать, что рассмотрение с точки зрения улетающего звездолета и с точки зрения "улетающей" Земли даст в итоге одинаковые численные результаты?
Лет 13 назад, на почившем сейчас форуме Нуль-Т сайта Русской Фантастики в ходе одного жаркого спора я эти вычисления таки проделал. Кому интересно – добро пожаловать под кат.
Сначала рассмотрим ситуацию с точки зрения остающегося на Земле близнеца. Система отсчета, связанная с ним, инерциальна, так что в данном случае мы можем пользоваться формулами СТО
Для промежутка времени, измеренного в этой системе, получаем:
Где:
- время разгона ракеты, 
- время свободного полета, 
- время торможения, 
- время нового разгона, 
- время свободного полета в обратном направлении, 
- время торможения на финише.
Из соображений симметрии:
.
Таким образом:
Аналогично для ракеты:
Для времени свободного полета, разумеется, выполняется классическое соотношение:
(время замедляется для близнеца на ракете)
Теперь, что касается времени разгона и торможения.
Величина 4-ускорения ракеты является постоянной величиной в любой инерциальной с.о., относительно которой движется ракета, и равняется ее 3-ускорению (a) в собственной с.о.
Раскрытие выражения для 4-ускорения в инерциальной с.о, связанной с остающимся близнецом, приводит к следующему выражению:
Или же:
Полагая v = 0 при t = 0, получаем const = 0.
Собственное же время ракеты задается следующим интегралом:
Из этого соотношения (вместе с формулой
получающейся путем еще одного интегрирования (1)) можно рассчитать, кстати, такой, кажущийся поразительным, факт, что при постоянном ускорении всего в одно g можно облететь всю видимую Вселенную за время жизни одного поколения на ракете.
Выражение (2) можно переписать в следующем виде:
Или же, воспользовавшись формулой (1):
А если принять во внимание, что:
(по определению), то
Или же:
Устремляя при постоянной скорости (v) ускорение к бесконечности (чтобы как можно быстрее набрать или сбросить эту скорость), получим, что
должно стремится к нулю. Из формулы (1) аналогичный вывод получаем и для .
Выписываем:
То есть:
Окончательно:
как и должно быть.
Теперь проведем рассмотрение с точки зрения "неподвижной" ракеты и "улетающей" Земли.
В этой системе отсчета (собственной системе отсчета ракеты) она, как уже было сказано, неподвижна, зато в данной с.о. возникает (в силу принципа эквивалентности ОТО) эффективное гравитационное поле, в котором и "падает" наблюдатель на Земле (в отрицательном направлении оси x).
Во время первоначального разгона скалярный потенциал данного эффективного гравитационного поля описывается следующей формулой:
где
- компонента 11 метрического тензора g.
При свободном движении ракеты гравитационное поле отсутствует. А когда приходит время промежуточного торможения, выражение для потенциала принимает следующий вид (так как ускорение имеет обратный знак):
Таким образом, задача перестает быть полностью симметричной. И:
(n - то есть рассматриваем в неинерциальной системе) 
где
- время начального разгона, 
- время свободного полета, 
- время промежуточного торможения.
Так как в собственной системе отсчета ракеты x = 0, то и гравитационной потенциал тоже всё время равен 0, и для
по-прежнему имеем:
Получим теперь уравнение движения для "падающего" близнеца.
Общее выражение для уравнения движения в контравариантом виде:
Здесь Г - так называемые "символы Кристофеля" (коэффициенты связности). Эти коэффициенты выражаются через метрический тензор, и в пространстве-времени Минковского (
, остальные нулевые) равны 0, так что в случае свободного полета получаем привычное уравнение движение СТО:
Во время же разгона и торможения компоненты метрического тензора следующие:
, остальные нулевые (по-прежнему), а вот 
Расписывая уравнения движения при таком метрическом тензоре, получаем:
Решая это уравнение с начальными условиями
при 
, получаем:
Скорость:
Время:
(в данном случае
- время "падающего" вместе с Землей близнеца, t - близнеца на ракете)
Таким образом, для времени первоначального разгона из (4) получаем (
):
Или, аналогично получению формулы (3):
Крайне легко видеть, что при стремлении a к бесконечности стремится к нулю.
Для времени промежуточного торможения (
, где l - "глубина", на которую "упал" ко времени начала торможения близнец на Земле, 
):
А вот здесь, как мы видим, даже при стремлении ускорения к бесконечности промежуток времени не стремится к 0, а, вместо этого, стремится к постоянной величине
- и это является принципиальным отличием от выводов СТО.
Этот, кажущийся удивительным, результат обусловлен влиянием на часы "падающего" близнеца скалярного гравитационного потенциала
, который при стремлении ускорения к бесконечности тоже стремится к бесконечности.
Окончательно получаем:
(теперь ситуация "обратная" - с точки зрения близнеца на ракете во время свободного полета время замедляется как раз на Земле).
Так как:
то:
Промежуточные торможение и разгон:
То есть:
(то, что "падающий" вместе с Землей "теряет" во время свободного полета, возмещается при промежуточном торможении и новом разгоне - на эффектах ОТО).
(по-прежнему)
Таким образом, и в этом случае:
Окончательно получаем, что загадка "парадокса близнецов" успешно решена - независимо от того, будем мы вести рассмотрение с точки зрения Земли или же ракеты - стареть будет меньше близнец на ракете.
Особенно интересно при этом выглядит рассмотрение с точки зрения ракеты - да, во время свободного полета стареть будет меньше близнец на Земле, зато во время промежуточных разгона и торможения процесс старения этого близнеца стремительно ускоряется, догоняя, а затем и перегоняя близнеца на ракете.
Но, с другой стороны, по принципу относительности мы можем сказать, что, наоборот, это Земля улетает, а звездолет остается на месте. Значит, дряхлым стариком должен стать как раз близнец на звездолете.
Такова суть парадокса. И решение его известно: равноправны только инерциальные системы отсчета, звездолет же, чтобы вернуться к Земле, должен будет рано или поздно затормозить, повернуть, а потом снова разогнаться. И в эти моменты он будет испытывать ускорения – а значит, связанная с ним система отсчета станет неинерциальной.
Однако это все слова, а можно ли на уровне формул показать, что рассмотрение с точки зрения улетающего звездолета и с точки зрения "улетающей" Земли даст в итоге одинаковые численные результаты?
Лет 13 назад, на почившем сейчас форуме Нуль-Т сайта Русской Фантастики в ходе одного жаркого спора я эти вычисления таки проделал. Кому интересно – добро пожаловать под кат.
Сначала рассмотрим ситуацию с точки зрения остающегося на Земле близнеца. Система отсчета, связанная с ним, инерциальна, так что в данном случае мы можем пользоваться формулами СТО
Для промежутка времени, измеренного в этой системе, получаем:
Где:
- время разгона ракеты, - время свободного полета, - время торможения, - время нового разгона, - время свободного полета в обратном направлении, - время торможения на финише.Из соображений симметрии:
. Таким образом:
Аналогично для ракеты:
Для времени свободного полета, разумеется, выполняется классическое соотношение:
(время замедляется для близнеца на ракете)
Теперь, что касается времени разгона и торможения.
Величина 4-ускорения ракеты является постоянной величиной в любой инерциальной с.о., относительно которой движется ракета, и равняется ее 3-ускорению (a) в собственной с.о.
Раскрытие выражения для 4-ускорения в инерциальной с.о, связанной с остающимся близнецом, приводит к следующему выражению:
Или же:
Полагая v = 0 при t = 0, получаем const = 0.
Собственное же время ракеты задается следующим интегралом:
Из этого соотношения (вместе с формулой
получающейся путем еще одного интегрирования (1)) можно рассчитать, кстати, такой, кажущийся поразительным, факт, что при постоянном ускорении всего в одно g можно облететь всю видимую Вселенную за время жизни одного поколения на ракете.
Выражение (2) можно переписать в следующем виде:
Или же, воспользовавшись формулой (1):
А если принять во внимание, что:
(по определению), то
Или же:
Устремляя при постоянной скорости (v) ускорение к бесконечности (чтобы как можно быстрее набрать или сбросить эту скорость), получим, что
должно стремится к нулю. Из формулы (1) аналогичный вывод получаем и для .Выписываем:
То есть:
Окончательно:
как и должно быть.
Теперь проведем рассмотрение с точки зрения "неподвижной" ракеты и "улетающей" Земли.
В этой системе отсчета (собственной системе отсчета ракеты) она, как уже было сказано, неподвижна, зато в данной с.о. возникает (в силу принципа эквивалентности ОТО) эффективное гравитационное поле, в котором и "падает" наблюдатель на Земле (в отрицательном направлении оси x).
Во время первоначального разгона скалярный потенциал данного эффективного гравитационного поля описывается следующей формулой:
где
- компонента 11 метрического тензора g.При свободном движении ракеты гравитационное поле отсутствует. А когда приходит время промежуточного торможения, выражение для потенциала принимает следующий вид (так как ускорение имеет обратный знак):
Таким образом, задача перестает быть полностью симметричной. И:
(n - то есть рассматриваем в неинерциальной системе) где
- время начального разгона, - время свободного полета, - время промежуточного торможения.Так как в собственной системе отсчета ракеты x = 0, то и гравитационной потенциал тоже всё время равен 0, и для
по-прежнему имеем:Получим теперь уравнение движения для "падающего" близнеца.
Общее выражение для уравнения движения в контравариантом виде:
Здесь Г - так называемые "символы Кристофеля" (коэффициенты связности). Эти коэффициенты выражаются через метрический тензор, и в пространстве-времени Минковского (
, остальные нулевые) равны 0, так что в случае свободного полета получаем привычное уравнение движение СТО:Во время же разгона и торможения компоненты метрического тензора следующие:
, остальные нулевые (по-прежнему), а вот Расписывая уравнения движения при таком метрическом тензоре, получаем:
Решая это уравнение с начальными условиями
при , получаем:Скорость:
Время:
(в данном случае
- время "падающего" вместе с Землей близнеца, t - близнеца на ракете)Таким образом, для времени первоначального разгона из (4) получаем (
):Или, аналогично получению формулы (3):
Крайне легко видеть, что при стремлении a к бесконечности
стремится к нулю.Для времени промежуточного торможения (
, где l - "глубина", на которую "упал" ко времени начала торможения близнец на Земле, ):А вот здесь, как мы видим, даже при стремлении ускорения к бесконечности промежуток времени не стремится к 0, а, вместо этого, стремится к постоянной величине
- и это является принципиальным отличием от выводов СТО.Этот, кажущийся удивительным, результат обусловлен влиянием на часы "падающего" близнеца скалярного гравитационного потенциала
, который при стремлении ускорения к бесконечности тоже стремится к бесконечности.Окончательно получаем:
(теперь ситуация "обратная" - с точки зрения близнеца на ракете во время свободного полета время замедляется как раз на Земле).
Так как:
то:
Промежуточные торможение и разгон:
То есть:
(то, что "падающий" вместе с Землей "теряет" во время свободного полета, возмещается при промежуточном торможении и новом разгоне - на эффектах ОТО).
(по-прежнему)Таким образом, и в этом случае:
Окончательно получаем, что загадка "парадокса близнецов" успешно решена - независимо от того, будем мы вести рассмотрение с точки зрения Земли или же ракеты - стареть будет меньше близнец на ракете.
Особенно интересно при этом выглядит рассмотрение с точки зрения ракеты - да, во время свободного полета стареть будет меньше близнец на Земле, зато во время промежуточных разгона и торможения процесс старения этого близнеца стремительно ускоряется, догоняя, а затем и перегоняя близнеца на ракете.
