Шест и сарай

[m61]

Существует одна забавная задачка на понимание сути специальной теории относительности (СТО). Иногда она называется "задачей про танк и ров" - но, по нынешним временам, лучше уж мы используем нейтральную альтернативную формулировку: "задача про шест и сарай".



Как известно из СТО - тела, движущиеся с большими скоростями, испытывают релятивистское сокращение длины в направлении движения (точнее, не только с большими, а вообще с любыми, просто на малых скоростях эффект будет совершенно ничтожен). И это релятивистское сокращение, как и многие другие релятивистские эффекты, удобно характеризовать с помощью так называемого лоренц-фактора, являющегося функцией скорости:





Таким образом, при скорости движения, соответствующей лоренц-фактору, равному двум (это достигается при скорости, примерно равной 0.866 световой) длина тела сократится в два раза.

Представим теперь, что некий супер-Бубка разогнался для своего очередного рекордного суперпрыжка и бежит теперь с вышеуказанной скоростью. В руках у него шест длиной шесть метров. Но по пути у него внезапно случился сарай со сквозным проходом, длиной четыре метра, - и супер-Бубка, чтобы не огибать сарай, решил пробежать этим проходом.

Однако на крыше сарая сидел некий шутник (который этот сарай и доставил на дорожку), и когда супер-Бубка вместе с шестом весь скрылся внутри сарая (весь - потому что с точки зрения шутника длина шеста, из-за релятивистского сокращения, составила всего три метра) - шутник нажал на кнопку, и на крохотную долю секунды закрыл входную и выходную двери. А потом открыл, потому что был, всё-таки, не злым шутником - и не хотел, чтобы случилась беда.

Вроде бы, всё в полном порядке, шутник беззлобно пошутил, супер-Бубка совершил рекордный прыжок - и все довольны. Однако же вспомним теперь про принцип относительности движения - ведь с тем же успехом мы можем сказать, что "на самом деле" - это сарай набИгает, а супер-Бубка стоит на месте. И тогда это не размеры шеста должны сокращаться - а, наоборот, размеры сарая, который должен "уменьшиться" до всего-навсего двух метров. И, соответственно, шестиметровый шест никак не может в нем целиком поместиться, и катастрофа в момент закрытия дверей будет неминуема.

Так какая же версия событий реализуется на самом деле? Установит ли супер-Бубка новый мировой рекорд - или шутник отправится в тюрьму за свою дурацкую шутку с трагическим исходом?

Comments

[shtyrlez.livejournal.com]

Суть в наблюдателе.
Если бы шутник сидел на плечах у супер-Бубки, то сарай уменьшился бы.

[m61.livejournal.com]

Это смотря как они будут двигаться. :) Вообще, надо бы собраться и написать третью часть "Быстрее света" - про сверхсветовые скорости уже не в космологии, а в обычной жизни...

Впрочем, если это доставляет дискомфорт - все размеры можно увеличить в тысячу раз, например. У нас же - _супер_-Бубка, как-никак! :)

[bjglj.livejournal.com]

Все размеры (кроме длины) придется как раз уменьшить, ибо если сарай высотой метров 5, то двери начнут закрываться, когда супер-Бубка уже совсем проскочит.

[megamihalych.livejournal.com]

в системе Бубки одновременного закрытия дверей не будет - станет разновременным и это даст шесту пройти укороченный сарай.

[dims12.livejournal.com]

+1

[clovis3.livejournal.com]

Я бы для остроты сформулировал вопрос по-другому: если заднюю дверь не открывать, то в системе сарая получится, что бубкин шест можно поймать, закрыв за ним переднюю дверь. Долговременная поимка шеста в сарае -- это факт, не зависящий от системы отсчёта, и тут уж не сошлёшься на относительность понятия раньше/позже для событий, разделённых простраственным интервалом.

[dims12.livejournal.com]

Так и есть

[clovis3.livejournal.com]

... но остаётся вопрос: каким образом шест вошёл в сарай с точки зрения Бубки?.. ;-)

[new-mikha.livejournal.com]

Да вроде так же.
- бубка перед сараем, обе двери открыты
- шест входит в сарай
- передний край шеста достигает выхода, выход закрывается и тут же открывается
- передняя часть шеста выходит их сарая, задняя еще не вошла жо конца
- задний конец шеста входит в сарай, задняя дверь закрывается
Вроде проблем нет, или я чтото упустил?

[new-mikha.livejournal.com]

А как про ров звучит? Кажется, это должно быть интереснее... Пусть будет трактор. Наш мирный советский реактивный трактор.

[victor-chapaev.livejournal.com]

Да, со рвом я запутался. Вроде бы танкотрактор все-таки должен в него провалиться, но что будет тому причиной? На ум приходит нежесткость объектов в СТО

[vlkamov.livejournal.com]

> В руках у него шест длиной шесть метров.

Возникает вопрос в какой системе произведено измерение, хочется уточнить момент нажатия, скорости закрытия открытия дверей в той же системе. Считать лень, но похоже, что никакого парадокса не случится.

[os80.livejournal.com]

По-моему, шест как был шестиметровым с точки зрения шутника, так и останется. С точки зрения Бубки шест станет длинее, а сарай короче. Только длиной для Бубки будет пространственное расстояние между краями шеста/сарая, имеющие (с точки зрения шутника) разное время.

[waspagv.livejournal.com]

А-ха-ха! Я думал, что решение будет в первом же комменте.

[dims12.livejournal.com]

оно было в третьем

[waspagv.livejournal.com]

А потом кто-то написал: "Долговременная поимка шеста в сарае -- это факт, не зависящий от системы отсчёта". Это, во-первых, неверно, а во-вторых, увело дискуссию от верного ответа.

[dims12.livejournal.com]

Почему неверно? Поимка шеста, если она произошла в любой СО, это действительно факт и он действительно не зависит от СО.

[thagastan.livejournal.com]

Интересно, что про танк и ров анекдот миролюбивей.
Рванет аккурат сарай, и судить будет некого...

[waspagv.livejournal.com]

Конечно же, двери, закрывшиеся одновременно с точки зрения шутника, закроются не одновременно для Бубки, ибо одновременность относительна. Для решения требуются лишь преобразования Лоренца, которые есть даже в некоторых школьных учебниках.

В общем, если положить, что в системе координат шутника обе двери захлопываются в момент вбегания Бубки при t'=0, а координаты передней и задней дверей в этот момент равны x'_1=0 и x'_2=4 м, то в системе Бубки будет немного не так. Передняя дверь по-прежнему захлопнется в момент t_1=0 в точке x_1=0. Но задняя дверь закроется раньше: в момент t_2=-2.31*10^(-8) с, а расстояние до Бубки будет в этот момент x_2=8 м, что больше длины шеста (6 м в системе Бубки).

Формулы не пишу, поскольку их даст топикстартер вместе с решением задачи.

[stranger-p-a.livejournal.com]

Проблема в одновременности. Не получится закрыть двери одновременно одновременно (простите за тавтологию) для обоих участников процесса.

[thagastan.livejournal.com]

Да, на первый взгляд дело именно в одновременности. Задача же не на формулы, а на понимание...

[waspagv.livejournal.com]

Без формул редко удается достичь понимания. Конечно, без формул ясно, что в системе бегуна одновременного закрытия/открытия дверей не будет. Но как вы узнаете без них, какая дверь откроется раньше, и достаточно ли будет этого временного запаса для пробегания? Тут придется посчитать.

[dims12.livejournal.com]

Пролёт в СО сарая:



красным обозначены мировые линии концов шеста, синим -- краёв сарая. Время -- по вертикали. Жирными точками - события закрывания дверей.

По условию, в этой СО закрывание дверей одновременно (= на одном уровне по вертикали по серой оси времени t) и кратковременно (точки, а не линии), а шест имеет такую же длину, как и сарай, так что шест помещается в сарае.

Сарай покоится -- мировые линии его концов вертикальны. Шест движется слева направо -- его мировые линии наклонены враво.

Та же самая ситуация в СО шеста.



координаты преобразованы по Лоренцу на глаз.

Видно, что теперь шест длиннее сарая.

При этом он покоится (мировые линии вертикальны), а сарай движется влево.

События закрытия дверей в этой СО неодновременны -- дверь перед носом шеста закрывается раньше(= ниже по чёрной оси времени t').

[dims12.livejournal.com]

P.P.S.

Теперь рассмотрим перманентное закрытие дверей и возможные процесс деформации шеста. Сперва в СО шеста



В этой СО, напомню, шест покоится и на него "надевается" сарай, который короче шеста.

Двери теперь отображается чёрными жирными мировыми линиями. Правая дверь закрывается в момент t'_1 и остаётся закрытой. Левая дверь закрывается в t'_2 и тоже остаётся закрытой.

Сарай движется српава налево, синие мировые линии. Он надевается на шест и сперва двери (правой) достигает правый конец шеста, в момент времени t'_1. Дверь закрывается и упирается в шест. Шест начинает сплющиваться "гармошкой".

Допустим, шест достаточно упруг и гармошка движется с субсветовой скоростью влево, быстрее сарая -- зелёная мировая линия.

"Гармошка" -- это механическая передача информации вдоль шеста. Событие закрытие второй двери в момент t'_2 отстоит от события закрытия первой на пространственно-подобный интервал, поэтому, не может ничего "знать" о том, что творится с шестом.

Поэтому, сарай продолжает надвигаться на шест и поглощает его левый и недеформированный конец; после чего вторая дверь сразу же захлопывается.

Волна деформации достигает левой двери в момент t'_3.

То есть, с точки зрения СО шеста, сарай налетает на более длинный шест, с огромной силой бьёт дверью по правому его концу и отправляет волну сплющивания в левый. В момент t'_2 левая дверь спокойно закрывается, но в момент t'_3 на левую дверь обруживается волна деформации.

Если дверь достаточно прочна, то она выдерживает и шест оказывается пойманным в сарай.

Теперь трансформируем обратно



в СО сарая. Здесь сарай неподвижен и в него влетает лоренцево-сокращённый шест. В момент времени 0 обе двери закрываются и "ловят" сокращённый шест. По инерции, шест врезается в правую дверь и начинает сплющиваться гармошкой. Волна сплющивания и здесь отображена зелёной мировой линией.

В момент времени t_x, волна сплющивания достигает левой двери.

В этот момент заканчивается преобразования лоренцева сокращения в механическое сплющивание. Если двери достаточно прочны, а шест достаточно гибок, то он он остаётся в сарае в сплющенном состоянии.