Шест и сарай

[m61]

Существует одна забавная задачка на понимание сути специальной теории относительности (СТО). Иногда она называется "задачей про танк и ров" - но, по нынешним временам, лучше уж мы используем нейтральную альтернативную формулировку: "задача про шест и сарай".



Как известно из СТО - тела, движущиеся с большими скоростями, испытывают релятивистское сокращение длины в направлении движения (точнее, не только с большими, а вообще с любыми, просто на малых скоростях эффект будет совершенно ничтожен). И это релятивистское сокращение, как и многие другие релятивистские эффекты, удобно характеризовать с помощью так называемого лоренц-фактора, являющегося функцией скорости:





Таким образом, при скорости движения, соответствующей лоренц-фактору, равному двум (это достигается при скорости, примерно равной 0.866 световой) длина тела сократится в два раза.

Представим теперь, что некий супер-Бубка разогнался для своего очередного рекордного суперпрыжка и бежит теперь с вышеуказанной скоростью. В руках у него шест длиной шесть метров. Но по пути у него внезапно случился сарай со сквозным проходом, длиной четыре метра, - и супер-Бубка, чтобы не огибать сарай, решил пробежать этим проходом.

Однако на крыше сарая сидел некий шутник (который этот сарай и доставил на дорожку), и когда супер-Бубка вместе с шестом весь скрылся внутри сарая (весь - потому что с точки зрения шутника длина шеста, из-за релятивистского сокращения, составила всего три метра) - шутник нажал на кнопку, и на крохотную долю секунды закрыл входную и выходную двери. А потом открыл, потому что был, всё-таки, не злым шутником - и не хотел, чтобы случилась беда.

Вроде бы, всё в полном порядке, шутник беззлобно пошутил, супер-Бубка совершил рекордный прыжок - и все довольны. Однако же вспомним теперь про принцип относительности движения - ведь с тем же успехом мы можем сказать, что "на самом деле" - это сарай набИгает, а супер-Бубка стоит на месте. И тогда это не размеры шеста должны сокращаться - а, наоборот, размеры сарая, который должен "уменьшиться" до всего-навсего двух метров. И, соответственно, шестиметровый шест никак не может в нем целиком поместиться, и катастрофа в момент закрытия дверей будет неминуема.

Так какая же версия событий реализуется на самом деле? Установит ли супер-Бубка новый мировой рекорд - или шутник отправится в тюрьму за свою дурацкую шутку с трагическим исходом?

Comments

[shtyrlez.livejournal.com]

Суть в наблюдателе.
Если бы шутник сидел на плечах у супер-Бубки, то сарай уменьшился бы.

[m61.livejournal.com]

Это смотря как они будут двигаться. :) Вообще, надо бы собраться и написать третью часть "Быстрее света" - про сверхсветовые скорости уже не в космологии, а в обычной жизни...

Впрочем, если это доставляет дискомфорт - все размеры можно увеличить в тысячу раз, например. У нас же - _супер_-Бубка, как-никак! :)

[megamihalych.livejournal.com]

в системе Бубки одновременного закрытия дверей не будет - станет разновременным и это даст шесту пройти укороченный сарай.

[dims12.livejournal.com]

+1

[clovis3.livejournal.com]

Я бы для остроты сформулировал вопрос по-другому: если заднюю дверь не открывать, то в системе сарая получится, что бубкин шест можно поймать, закрыв за ним переднюю дверь. Долговременная поимка шеста в сарае -- это факт, не зависящий от системы отсчёта, и тут уж не сошлёшься на относительность понятия раньше/позже для событий, разделённых простраственным интервалом.

[bjglj.livejournal.com]

Все размеры (кроме длины) придется как раз уменьшить, ибо если сарай высотой метров 5, то двери начнут закрываться, когда супер-Бубка уже совсем проскочит.

[dims12.livejournal.com]

Так и есть

[clovis3.livejournal.com]

... но остаётся вопрос: каким образом шест вошёл в сарай с точки зрения Бубки?.. ;-)

[new-mikha.livejournal.com]

Да вроде так же.
- бубка перед сараем, обе двери открыты
- шест входит в сарай
- передний край шеста достигает выхода, выход закрывается и тут же открывается
- передняя часть шеста выходит их сарая, задняя еще не вошла жо конца
- задний конец шеста входит в сарай, задняя дверь закрывается
Вроде проблем нет, или я чтото упустил?

[new-mikha.livejournal.com]

А как про ров звучит? Кажется, это должно быть интереснее... Пусть будет трактор. Наш мирный советский реактивный трактор.

[clovis3.livejournal.com]

Я предлагаю более зверский вариант: не открывать выход. Тогда в системе сарая получится, что бубкин шест можно запереть в сарае, а в системе Бубки передний конец шеста стукнется в стену/дверь ещё до того, как задний конец войдёт внутрь -- и как же запереть за ним дверь?

[new-mikha.livejournal.com]

Дело в том, что тогда будут уже ускорения, т.е. это будет уже общая теория относительности, к которой описанная модель (с сокращениями и т.п) уже не применима. Будет как то по другому, не берусь описать, как.

[clovis3.livejournal.com]

Ускорения, конечно, будут, но исключительно в рамках СТО. ОТО -- это не когда ускорения, а когда пространство-время кривое.

[alexeybobkov]

Да, в системе Бубки передний конец стукнется - но задний будет продолжать движение. Весь шест сразу остановитсь не может - деформация распространяется по нему с конечной (досветовой) скоростью. Поэтому мы точно так же его запрём.

[clovis3.livejournal.com]

Это верно. Всё дело в том, что волна сжатия шеста не может распространяться быстрее скорости света, и поэтому задний конец шеста узнает о том, что передний стукнулся о заднюю стену сарая, не сразу, а лишь тогда, когда за ним захлопнется дверь.

[alexeybobkov]

Ну и для точности наверное следует добавить, что интервал между прохождениями передним и задним концами шеста соответствующих им ворот - пространственноподобный (поскольку есть система отсчёта, в которой они происходят одновременно), и поэтому волна деформации не успеет пройти от переднего конца до заднего - эти события не могут быть причинно связанными.

[victor-chapaev.livejournal.com]

Да, со рвом я запутался. Вроде бы танкотрактор все-таки должен в него провалиться, но что будет тому причиной? На ум приходит нежесткость объектов в СТО

[victor-chapaev.livejournal.com]

В момент удара переднего конца шест останавливается и становится нормальной длины для шутника. Если он не может проткнуть выход, то мы должны тщательно рассмотреть, как будет выглядеть процесс остановки шеста в обоих системах отсчета и тут может быть много вариантов

[vlkamov.livejournal.com]

> В руках у него шест длиной шесть метров.

Возникает вопрос в какой системе произведено измерение, хочется уточнить момент нажатия, скорости закрытия открытия дверей в той же системе. Считать лень, но похоже, что никакого парадокса не случится.

[clovis3.livejournal.com]

Вариантов, действительно, много, но поскольку скорость передачи сигнала меньше скорости света, то задний конец шеста будет свободно въезжать в сарай независимо от того, каким образом передний конец шеста взаимодействует с закрытой дверью (она же стенка). Что бы ни случилось на переднем конце шеста (пробьёт он дверь или не пробьёт) -- задний конец обязательно войдёт в сарай, что следует из того, что он туда войдёт в системе сарая, где шест очень короткий.

[os80.livejournal.com]

По-моему, шест как был шестиметровым с точки зрения шутника, так и останется. С точки зрения Бубки шест станет длинее, а сарай короче. Только длиной для Бубки будет пространственное расстояние между краями шеста/сарая, имеющие (с точки зрения шутника) разное время.

[os80.livejournal.com]

Длина шеста для шутника не меняется вообще! С точки зрения шеста смотреть не стоит, у него ускоренная система координат (причём ПРЕДЕЛЬНО ускоренная). С точки зрения Бубки, который отпускает шест и продолжает двигаться, как раньше, длина шеста сокращается).

[waspagv.livejournal.com]

А-ха-ха! Я думал, что решение будет в первом же комменте.

[thagastan.livejournal.com]

Интересно, что про танк и ров анекдот миролюбивей.
Рванет аккурат сарай, и судить будет некого...

[waspagv.livejournal.com]

Конечно же, двери, закрывшиеся одновременно с точки зрения шутника, закроются не одновременно для Бубки, ибо одновременность относительна. Для решения требуются лишь преобразования Лоренца, которые есть даже в некоторых школьных учебниках.

В общем, если положить, что в системе координат шутника обе двери захлопываются в момент вбегания Бубки при t'=0, а координаты передней и задней дверей в этот момент равны x'_1=0 и x'_2=4 м, то в системе Бубки будет немного не так. Передняя дверь по-прежнему захлопнется в момент t_1=0 в точке x_1=0. Но задняя дверь закроется раньше: в момент t_2=-2.31*10^(-8) с, а расстояние до Бубки будет в этот момент x_2=8 м, что больше длины шеста (6 м в системе Бубки).

Формулы не пишу, поскольку их даст топикстартер вместе с решением задачи.