Ловкость рук и чуть-чуть мошенничества
Aug. 8th, 2014 02:46 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
m61На почтовом сервере нашего отдела установлена одна забавная утилита: при старте сессии она выдает случайным образом какой-нибудь афоризм, или исторический анекдот, или логическую задачку, или еще что-нибудь в таком духе - короткое, но поучительное.
И вот сегодня она выдала мне такое вот равенство:
Признаюсь честно - сей факт поначалу меня прямо-таки восхитил, и я даже начал прикидывать, как можно половчее доказать это поразительное равенство - через теорему вычетов, быть может?.. И какой же контур интегрирования тогда надо брать?..
Однако, когда я присмотрелся чуть повнимательнее - стало совершенно очевидно, что ничего поразительного в этом равенстве нет, никакая теорема вычетов тут, разумеется, не нужна, а проверяется его истинность - с легкостью в уме.
Но этот милый розыгрыш заставил меня улыбнуться - а значит, эта замечательная утилита в очередной раз выполнила свою задачу. :)
И вот сегодня она выдала мне такое вот равенство:
Признаюсь честно - сей факт поначалу меня прямо-таки восхитил, и я даже начал прикидывать, как можно половчее доказать это поразительное равенство - через теорему вычетов, быть может?.. И какой же контур интегрирования тогда надо брать?..
Однако, когда я присмотрелся чуть повнимательнее - стало совершенно очевидно, что ничего поразительного в этом равенстве нет, никакая теорема вычетов тут, разумеется, не нужна, а проверяется его истинность - с легкостью в уме.
Но этот милый розыгрыш заставил меня улыбнуться - а значит, эта замечательная утилита в очередной раз выполнила свою задачу. :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2014-08-07 10:57 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-07 11:09 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-09 03:03 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-09 03:21 am (UTC)Увы, совершенно недостижимым. :)
(no subject)
Date: 2014-08-07 11:06 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 12:19 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:26 pm (UTC)P.S. Но сама утилита - не моя, нет. :)
(no subject)
Date: 2014-08-08 02:26 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 03:25 am (UTC)1) множитель cos(3*pi/9) выносится за знак интеграла и равен cos(pi/3) = cos (60 градусов) = 1/2.
2) Неопределённый интеграл от x^2 равен (x^3)/3 + С.
3) Подставляя верхний и нижний пределы и вычитая, получаем ((3^(1/3))^3)/3 - (1^3)/3 = 3/3 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3.
4) Домножаем на множитель 1/2, который мы вынесли в пункте 1, получаем 1/2 * 2/3 = 1/3.
Справа:
log (e^(1/3)) = 1/3 * log e = 1/3.
Левая и правая части равны, чтд.
(no subject)
Date: 2014-08-08 04:16 am (UTC)А что такое интеграл?
(no subject)
Date: 2014-08-08 04:22 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 05:03 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:40 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 04:55 am (UTC)определенный интеграл - это вот эта площадь на каком-то отрезке оси
в данном случае кривая описывается формулой f=x^2
фух. вроде ничего не попутал )
(no subject)
Date: 2014-08-08 05:05 am (UTC)Я бы хотел спросить, конечно, что такое кривая, образованная функцией, но не жела. показаться необразованным гуманитарием.
(no subject)
Date: 2014-08-08 05:10 am (UTC)В данном случае - это всего лишь парабола.
В общем -- любая линия, хоть прямая, хоть кривая.
(no subject)
Date: 2014-08-08 09:09 am (UTC)Попробую ответить (часть 1, чёртов ЖЖ)
Date: 2014-08-08 08:42 am (UTC)В данном случае нас интересуют функции из множества действительных чисел в множество действительных чисел. Действительные числа можно представлять себе как точки на прямой... ну, или как числа в очень точном калькуляторе.
Теперь рассмотрим такую задачу: пусть у нас есть функция скорости автомобиля (вещественное число) от времени на часах (вещественное число) в промежутке с часу до двух (или, по секундометру, который нам вскоре понадобится, с секунды 0 до секунды 3600). Вопрос: можно ли по этой функции понять, какое расстояние проехал автомобиль (предположим, он ехал по идеально прямому шоссе)? Интуитивно понятно, что можно: если другой автомобиль будет ехать с такой же скоростью в каждый момент времени, он проедет то же расстояние.
Вот эта интуитивная конструкция в математике и представляется определённым интегралом (есть ещё интеграл неопределённый, о нём ниже). Базовая идея, на нашем примере: будем вначале считать, что скорость автомобиля v(t) меняется "скачками" - первую секунду он ехал со скоростью ровно v(0) = 60.00 км/ч, затем его скорость мгновенно изменилась на v(1) = 60.02 км/ч и вторую секунду он ехал с этой скоростью и т.д. Это получается другая функция, ступенчатое приближение оригинальной. Для такой ступенчатой функции расстояние ищется просто, хотя и муторно: считаем расстояние, которое проехали за каждую секунду (с постоянной скоростью, напоминаю - это мы считать умеем), а потом все эти 3600 чисел складываем.
Разумеется, мы получим не совсем точный ответ. Но что если мы возьмём "ступеньки" по пол-секунды? По миллисекунде? Оказывается, что, если функция "достаточно хорошая" (я не буду раскрывать это понятие, но все функции, известные нам из школы, достаточно хорошие), то мы будем приближаться к некоторому числу.
Попытка ответа, часть 2
Date: 2014-08-08 08:43 am (UTC)Множества в математике - это сами по себе эдакие однородные "мешки" с объектами; они никак не упорядочивают и не связывают свои элементы. Но на множестве можно вводить структуру - выделяя в нём некоторые элементы или подмножества. В частности, мы можем взять семейство (=множество, просто слово другое) подмножеств и назвать их окрестностями. На прямой, на множестве действительных чисел в качестве окрестностей канонически берут все возможные интервалы (помните, что такое интервал?) и их объединения (вроде (2,3)+(5,7)). Если некоторый элемент x принадлежит окрестности U, то говорят и наоборот - U есть окрестность x (так, для вещественных чисел и окрестностей-интервалов интервал (2,3) - окрестность чисел 2.5, 2.7, 17/7 и многих других).
Возьмём некоторую функцию f. Функция, как мы договорились, переводит числа в числа. Но если мы возьмём некоторое множество чисел, M? Тогда f(M) естественно обозначить множество всех результатов, которые может принять f(x), если x входит в M. К примеру, если мы возьмём школьную функцию f(x)=x^2, то f((0,2)) есть, как можно понять, интервал (0,4).
Теперь из всех окрестностей возьмём только окрестности числа x (этот набор называют фильтром окрестностей x). Если есть такое число y, что для всякой V - окрестности y можно подобрать U - окрестность числа x, такую, что f(U) содержится в V, то говорят, что f имеет предел в x (или "по фильтру окрестностей x"), равный y. То же самое имеют в виду, когда говорят "значение f стремится к y при аргументе, стремящемся к x", "f(t)->y | t->x"; есть и ещё альтернативные формы записи.
Обратите внимание, что из такого определения совершенно непонятно, а как же, собственно, этот предел искать, если нам на руки выдали только x и f. Это неспроста: во многих случаях доказательство существования предела, как говорят, неконструктивно - примерно как в шутке про суслика: предел есть, а чему равен - чёрт его знает. Так вот, если обозначить ширину "ступеньки" из предыдущего абзаца за d, а получающуюся сумму для соответствующей ступенчатой функции за S, то S (если исходная функция v достаточно хорошая) имеет предел в 0.
Предел (предельное значение) при стремлении ширины "ступеньки" к 0 и называется определённым интегралом (Римана) (ну... не совсем, есть нюансы, но в них я сейчас не полезу). Для нашего примера, положим, он равен 72 (км). Полное словесное описание тогда будет "определённый интеграл от функции v по отрезку [0,3600] существует и равен 72". Математики, натурально, не любят много писать, так что обратите внимание на запись выше: вытянутая S означает "начался интеграл", число внизу (1) означает начало отрезка, число вверху (3^(1/3)) означает конец отрезка, а запись z^2 dz читается как "интегрируем функцию f(z)=z^2" - ну, чтобы не запутаться, какая буква тут обозначает аргумент функции. После dz интеграл закончился, дальше стоит невидимый, но подразумеваемый (я уже говорил, что математики не любят много писать?) знак умножения и второй множитель - значение cos(3п/9).
Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 08:44 am (UTC)Для нашего случая, какая-нибудь первообразная z^2 - это z^3/3. Подставляем, считаем: (3^(1/3))^3/3 - 1^3/3 = 3/3 - 1/3 = 2/3.
Уф.
Ненавижу ограничения на количество символов.
Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 09:16 am (UTC)А как вот это вот по-научному называется, когда все слова по отдельности понимаешь, а всё вместе складывается в какой-то птичий щебет и невнятный гул?
Но зато я наконец отчетливо вспомнил, за что так не люблю математику и прочую тригонометрию. Внезапно и остро.
А ведь я в свое время даже сопромат учил старательно и эпюры правильные рисовал. Житие мое... Где мои семнадцать лет?!
Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 09:29 am (UTC)М-м-м... вроде бы никак. Это же достаточно штатный режим работы психики.
> Но зато я наконец отчетливо вспомнил, за что так не люблю математику и прочую тригонометрию. Внезапно и остро.
Значит, объяснить не получилось, увы мне. При том что это объяснение пытался провести "по другую сторону" от тригонометрии и вообще любых графических соображений. Возможно, с картинками вышло бы лучше...
Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 09:35 am (UTC)Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 01:22 pm (UTC)Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-08 02:20 pm (UTC)Теперь даже неловко. Ведь человек время много времени потратил, полагая, что эти объяснения мне, дураку, помогут.
Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-09 05:33 pm (UTC)Вы уверены в своей гуманитарности? ;)
Re: Попытка ответа, часть 3, последняя
Date: 2014-08-10 06:36 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:20 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 02:20 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 09:32 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-10 06:37 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:59 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:09 pm (UTC)Тут дело, во-первых, в том, что для переменной было выбрано обозначение z - которое очень часто используется для обозначения комплексной переменной. Соответственно, на первый взгляд казалось, что перед нами интеграл в комплексной плоскости от некоего достаточно звероподобного выражения. А на курсе ТФКП (теории функций комплексной переменной) показывалось в качестве упражнений, что умело манипулируя такими вот интегралами от звероподобных выражений - их таки можно взять, и в ответе нередко получились некие комбинации с участием чисел пи или е.
Так что, еще раз повторю, на первый взгляд казалось, что именно с таким случаем мы и имеем дело.
Но более внимательный взгляд показывает, что никаких комплексных чисел тут нет - как нет и звероподобных выражений, это лишь маскировка (особенно "наглая" - с косинусом, да и лонарифм от е тоже вполне неплох).
И в итоге, когда мы всю эту маскировку откидываем - получается простейшее равенство, которое легко проверяется даже в уме.
(no subject)
Date: 2014-08-09 02:08 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 01:13 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 02:04 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 07:28 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 02:37 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 04:18 am (UTC)Получил слева 162 1/9 и шибко огорчился :)
(no subject)
Date: 2014-08-08 04:51 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 07:11 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 06:41 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 07:09 am (UTC)Хотя может быть в этом тоже ловушка. Написано ведь верно.
(no subject)
Date: 2014-08-08 07:15 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 04:55 am (UTC)(no subject)
Date: 2014-08-08 06:27 am (UTC)хоть эта радость с утра - и то хорошо ;о)
(no subject)
Date: 2014-08-08 02:57 pm (UTC)