Черепаха наносит ответный удар - 2
Sep. 13th, 2013 05:28 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
m61Ну, а теперь - ответ на задачку про черепаху и Ахиллеса. И ответ этот, как многие догадались (или рассчитали) - да, черепаха сможет догнать Ахиллеса. Более того, она сможет его догнать, даже если скорости будут различаться не в два раза, а в 10, в 100... да вообще в произвольное число раз.
Собственно, как это вообще возможно - легко понять и без точных расчетов, на уровне простой логики. Представим, что черепаха неподвижно замерла в некоей точке пути, а Ахиллес продолжает панически от нее уплётывать. Так как резиновая лента растягивается равномерно, то отношение A:B (отношение длины резиновой ленты, которую осталось преодолеть черепахе - к полной длине ленты) будет оставаться неизменным: отрезок впереди растет в той же самой мере, что и длина всей ленты. А вот если черепаха будет двигаться - то отношение это, мало-помалу, будет уменьшаться, пока наконец не достигнет нуля.
Т.е. - черепаха обязательно настигнет Ахиллеса.
Можно проделать и точные расчеты - составить уравнение движения (его чуть проще вывести, если предположить, что длина ленты остается неизменной - но, вместо этого, уменьшаются размеры и, соответственно, скорость черепахи), а потом его решить (уравнение будет интегральным, но очень простым, так что решить его не представит ни малейшей проблемы). Конечная же формула будет такой:
где L - начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой, v - скорость Ахиллеса, u - скорость черепахи.
Таким образом, для наших начальных условий (L = 100 метров, v = 5 м/с, u = 2.5 м/с) мы получаем, что черепаха сможет свершить свое справедливое возмездие всего примерно через две с половиной минуты.
Однако, как видно из формулы, время зависит от соотношения скоростей экспоненциальным образом, так что при разнице скоростей в десять раз (скорость черепахи более близка к привычно-"черепашьим" 0.5 м/с) погоня займет более пяти суток. Если же мы замедлим черепаху еще в пять раз - то до момента сладостной мести черепахе (и Ахиллесу, и Земле тоже) дожить будет уже не суждено - время погони значительно (в сто тысяч раз с гаком) превысит возраст нашей Вселенной.
Именно поэтому так важен каждый голос на выборах. :)
И, раз уж была упомянута Вселенная - на самом деле, эта задачка имеет прямое к ней отношение. Ведь, как это усиленно подчеркивается во всех книгах и лекциях по космологии, расширение Вселенной - это не разлет галактик _в_ пространстве, это "разлет" самого пространства-времени, почти полный аналог растяжения резиновой ленты в нашей шутливой задачке. И именно поэтому, в равномерно расширяющейся Вселенной, хотя скорость удаления далекой галактики может в произвольное число раз превышать скорость света - тем не менее световой луч, пущенный к этой галактике, _сможет_ ее достигнуть, пусть и за чудовищно большой промежуток времени.
В самом деле, скорость удаления галактики за счет космологического расширения можно получить из закона Хаббла: v = H*r, где H - постоянная Хаббла, современные оценки на величину которой составляют примерно 70 (км/с)/Мпк, r - расстояние до галактики в мегапарсеках. То есть галактики, удаленные от нас на 4 с лишним гигапарсека и более - удаляются со скоростью, превышающей скорость света.
Далее, квадрат интервала для плоской фридмановской модели Вселенной задается следующей формулой:
где a(t) - масштабный фактор Вселенной, описывающий изменение со временем расстояний в ней за счет космологического расширения.
Для света, как известно, квадрат интервала равен нулю - что позволяет легко составить уравнение, которое связывает расстояние r, которое нужно пройти свету - и время T, которое потребуется ему на это:
В равномерно расширяющейся Вселенной:
И легко получаем:
А так как по закону Хаббла расстояние r линейно связано со скоростью удаления v - то получаем практически полный аналог уравнения "Ахиллеса и черепахи".
Однако следует сделать важное уточнение: мы рассматривали _гипотетический_ случай равномерного расширения Вселенной. В нашей же реальной Вселенной - ситуация еще интереснее. У нее были периоды, когда она расширялась с замедлением (на радиационно-доминированной стадии эволюции Вселенной масштабный фактор был пропорционален корню из времени, на материально-доминированной - времени в степени две трети), т.е. задача длячерепахи света была еще проще.
Но несколько миллиардов лет (около 7, если точнее) она перешла на расширение ускоренное, что обусловлено наличием в ней так называемой темной энергии. И вот сейчасАхиллес действительно может сбежать от черепахи существуют галактики, которых ни наш свет, ни, тем более, наши космические корабли не достигнут уже никогда. Собственно, в этом своем постинге я давал ссылку на расчеты моего коллеги по данному вопросу.
И ходя для их повторения требуется совместное решение уравнений Фридмана и уравнений состояний всех компонент Вселенной (излучения, обычного и темного вещества, темной энергии), на качественном уровне к подобному результату легко можно прийти, рассмотрев предельный случай - когда во Вселенной нет ничего, кроме темной энергии (в форме космологической постоянной), так что масштабный фактор увеличивается по экспоненциальному закону:
Решив при таком условии уравнение (*) - можно легко увидеть, как возникает космологический горизонт событий, который на самом деле во многом похож по своим свойствам на горизонт событий черных дыр.
Впрочем, это уже - совсем другая история.
Собственно, как это вообще возможно - легко понять и без точных расчетов, на уровне простой логики. Представим, что черепаха неподвижно замерла в некоей точке пути, а Ахиллес продолжает панически от нее уплётывать. Так как резиновая лента растягивается равномерно, то отношение A:B (отношение длины резиновой ленты, которую осталось преодолеть черепахе - к полной длине ленты) будет оставаться неизменным: отрезок впереди растет в той же самой мере, что и длина всей ленты. А вот если черепаха будет двигаться - то отношение это, мало-помалу, будет уменьшаться, пока наконец не достигнет нуля.
Т.е. - черепаха обязательно настигнет Ахиллеса.
Можно проделать и точные расчеты - составить уравнение движения (его чуть проще вывести, если предположить, что длина ленты остается неизменной - но, вместо этого, уменьшаются размеры и, соответственно, скорость черепахи), а потом его решить (уравнение будет интегральным, но очень простым, так что решить его не представит ни малейшей проблемы). Конечная же формула будет такой:
где L - начальное расстояние между Ахиллесом и черепахой, v - скорость Ахиллеса, u - скорость черепахи.
Таким образом, для наших начальных условий (L = 100 метров, v = 5 м/с, u = 2.5 м/с) мы получаем, что черепаха сможет свершить свое справедливое возмездие всего примерно через две с половиной минуты.
Однако, как видно из формулы, время зависит от соотношения скоростей экспоненциальным образом, так что при разнице скоростей в десять раз (скорость черепахи более близка к привычно-"черепашьим" 0.5 м/с) погоня займет более пяти суток. Если же мы замедлим черепаху еще в пять раз - то до момента сладостной мести черепахе (и Ахиллесу, и Земле тоже) дожить будет уже не суждено - время погони значительно (в сто тысяч раз с гаком) превысит возраст нашей Вселенной.
И, раз уж была упомянута Вселенная - на самом деле, эта задачка имеет прямое к ней отношение. Ведь, как это усиленно подчеркивается во всех книгах и лекциях по космологии, расширение Вселенной - это не разлет галактик _в_ пространстве, это "разлет" самого пространства-времени, почти полный аналог растяжения резиновой ленты в нашей шутливой задачке. И именно поэтому, в равномерно расширяющейся Вселенной, хотя скорость удаления далекой галактики может в произвольное число раз превышать скорость света - тем не менее световой луч, пущенный к этой галактике, _сможет_ ее достигнуть, пусть и за чудовищно большой промежуток времени.
В самом деле, скорость удаления галактики за счет космологического расширения можно получить из закона Хаббла: v = H*r, где H - постоянная Хаббла, современные оценки на величину которой составляют примерно 70 (км/с)/Мпк, r - расстояние до галактики в мегапарсеках. То есть галактики, удаленные от нас на 4 с лишним гигапарсека и более - удаляются со скоростью, превышающей скорость света.
Далее, квадрат интервала для плоской фридмановской модели Вселенной задается следующей формулой:
где a(t) - масштабный фактор Вселенной, описывающий изменение со временем расстояний в ней за счет космологического расширения.
Для света, как известно, квадрат интервала равен нулю - что позволяет легко составить уравнение, которое связывает расстояние r, которое нужно пройти свету - и время T, которое потребуется ему на это:
В равномерно расширяющейся Вселенной:
И легко получаем:
А так как по закону Хаббла расстояние r линейно связано со скоростью удаления v - то получаем практически полный аналог уравнения "Ахиллеса и черепахи".
Однако следует сделать важное уточнение: мы рассматривали _гипотетический_ случай равномерного расширения Вселенной. В нашей же реальной Вселенной - ситуация еще интереснее. У нее были периоды, когда она расширялась с замедлением (на радиационно-доминированной стадии эволюции Вселенной масштабный фактор был пропорционален корню из времени, на материально-доминированной - времени в степени две трети), т.е. задача для
Но несколько миллиардов лет (около 7, если точнее) она перешла на расширение ускоренное, что обусловлено наличием в ней так называемой темной энергии. И вот сейчас
И ходя для их повторения требуется совместное решение уравнений Фридмана и уравнений состояний всех компонент Вселенной (излучения, обычного и темного вещества, темной энергии), на качественном уровне к подобному результату легко можно прийти, рассмотрев предельный случай - когда во Вселенной нет ничего, кроме темной энергии (в форме космологической постоянной), так что масштабный фактор увеличивается по экспоненциальному закону:
Решив при таком условии уравнение (*) - можно легко увидеть, как возникает космологический горизонт событий, который на самом деле во многом похож по своим свойствам на горизонт событий черных дыр.
Впрочем, это уже - совсем другая история.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
(no subject)
Date: 2013-09-13 06:45 am (UTC)ЗЫ А черепахи-то, оказывается, мстительные.
(no subject)
Date: 2013-09-13 02:48 pm (UTC)Грубая, но наглядная аналогия: представь, ты приклеил к воздушному шарику несколько монеток - а потом начал этот шарик надувать. Его размер и расстояние между монетками будут расти, а вот сами монетки увеличиваться не будут, конечно.
(no subject)
Date: 2014-06-19 06:50 pm (UTC)Но в случае с монетками - понятно, что удерживает резинку. Силу упругости монетки, которая больше, чем сила упругости резинки (иначе монетку бы просто разорвало). А в случае гравитации - что же это такое?
И это (в случае с пространством) можно померить?
(no subject)
Date: 2014-06-22 06:32 pm (UTC)Но стоит сразу отметить, что под "пространством" тут понимается, разумеется, "пространство-время". Так, в случае слабых, "ньютоновских" полей, изменением пространственных компонент метрического тензора можно полностью пренебречь, весь ньютоновский закон всемирного тяготения "сидит" целиком во "временной" компоненте тензора.
Перейдем теперь к расширению Вселенной. В начальные мгновения ее жизни во Вселенной "царило" инфляционное скалярное поле, обладавшее "вакуумным" уравнением состояния (его отрицательное давление было по модулю равно плотности энергии). За счет этого происходило экспоненциальное "раздувание" Вселенной (материя "тянула" за собой пространство-время). В конце периода инфляции скалярное поле "распалось" на частицы, экспоненциальный период расширения закончился - но само расширение продолжилось (по более медленному - степенному закону), только уж не материя "тянула" за собой пространство, а, наоборот, пространство - материю.
Дальше в дело вступают неоднородности в распределении вещества во Вселенной. Были изначальные неоднородности, возникшие из квантовых флюктуаций, в период инфляции они параметрическим образом усилились, а после окончания периода инфляции продолжили свою эволюцию (сначала, на радиационно-доминированной стадии - очень медленную, а при переходе к материально-доминированной - резко ускорившуюся).
И вот эта материя, "скучиваясь" вместе, на определенном этапе становится способной "перебороть" (своим влиянием на пространственно-временной континуум) изначальный "толчок".
Собственно, это все уже давным-давно подсчитано. Пороговый контраст плотности (начиная с которого происходит обособление области Вселенной от космологического расширения) для современной стандартной модели Вселенной составляет примерно 1.7
(no subject)
Date: 2013-09-13 09:40 am (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 02:37 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 03:16 pm (UTC)По определению отношение A:B - это отношение длины резиновой ленты, которую осталось преодолеть черепахе - к полной длине ленты. Следовательно, при неподвижной черепахе оно стремится к 1, а не к 0.
(no subject)
Date: 2013-09-13 03:18 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 03:46 pm (UTC)Например, если одна треть?
Смотрите.
Я уже приводил это рассуждение в предыдущем постинге Звездочёта, повторю ещё раз.
1) Черепаха никогда не замедляется. Если она начала двигаться с какой-то скоростью, она уже никогда медленнее двигаться не будет.
Примем скорость Ахиллеса за единицу, тогда скорость черепахи 1/3.
2) Возьмём точку, отстоящую на 1/4 от начала ленты. Она движется равномерно, со скоростью 1/4. Черепаха её нагонит за конечное время, верно? Ведь её начальная скорость относительно земли 1/3 и она не замедляется.
Вот она её догнала. Теперь черепаха движется относительно земли 1/3 + 1/4 = 7/12.
3) Теперь возьмём точку, отстоящую на 1/2 от начала ленты. Она движется равномерно, со скоростью 1/2. Черепаха её нагонит за конечное время, ведь 7/12 > 1/2.
Вот она её догнала. Теперь черепаха движется относительно земли 1/3 + 1/2 = 5/6.
4) Теперь возьмём точку, отстоящую на 3/4 от начала ленты. Она движется равномерно, со скоростью 3/4. Черепаха её нагонит за конечное время, ведь 5/6 > 3/4.
Вот она её догнала. Теперь черепаха движется относительно земли 1/3 + 3/4 = 13/12.
5) Теперь возьмём Ахиллеса. Он движется равномерно, со скоростью 1. Черепаха его нагонит за конечное время, ведь 13/12 > 1.
(no subject)
Date: 2013-09-13 07:37 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 08:03 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 02:23 pm (UTC)Я не понял, о чём написал товарищ в предыдущем комментарии (отношение A:B, про которое идёт речь, всегда <= 1, и как оно может быть расходящимся рядом, непонятно).
Но к этой строчке я тоже придерусь :)
Ваше качественное рассуждение нигде не опирается на тот факт, что Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Следовательно, оно должно быть применимо и в том случае, если скорость изменяется экспоненциально. Но мы уже знаем, что в этом случае черепаха при определённых начальных условиях может никогда не догнать Архимеда - в точности, как в вашем последнем примере с тёмной материей, светом и галактиками. Значит, в качественном рассуждении есть ошибка.
Рассмотрение показывает, что ошибка как раз в процитированном рассуждении. Отношение будет уменьшаться, но может никогда не достигнуть нуля (что и происходит при экспоненте).
(no subject)
Date: 2013-09-13 02:34 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 02:45 pm (UTC)(no subject)
Date: 2013-09-13 04:55 pm (UTC)Это, вообще, вечная проблема: придумать адекватный переход от формул (а я, разумеется, эту задачку сразу в виде формул решал) к объяснению "на пальцах". :)
(no subject)
Date: 2013-09-13 05:20 pm (UTC)Если же Ахиллес будет двигаться с ускорением - то разница скоростей между точками ленты будет возрастать со временем, так что при стремлении времени путешествия к бесконечности эта разница превысит скорость черепахи для произвольно близких точек, что сделает невозможным дальнейшее продвижение черепахи.
Правда, сдается мне, чем _так_ объяснять на пальцах - лучше уж сразу формулы писать, тем более что в данном случае они выводятся в одну строчку. :)
(no subject)
Date: 2013-09-13 08:20 pm (UTC)Надо же, как оно всё устроено. Этот поразительный момент я как-то упустил - у меня никогда не было лекций по ОТО, и решения Эйнштейна и Фридмана я никогда не изучал и не понимал, что они значат.
Я-то был уверен, что это именно разлёт галактик, с большой, но вполне себе досветовой скоростью. А оно вот как...
(no subject)
Date: 2013-09-18 05:35 pm (UTC)(no subject)
Date: 2014-06-16 10:45 am (UTC)РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:
Date: 2017-01-01 01:38 pm (UTC)1. «Что было раньше: яйцо или курица?»
Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.
В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.
В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
ВЫВОД: "КУРИЦА"
2. Даётся понятие "Недвижущегося (Ахиллес)" , который не состоит в РПРП и отсутствие динамического состояния у которого завуалировано перемещениями, которую следуя Зенону производим и мы переставляя это понятие на предыдущие позиции в РПРП понятия "Движущегося (черепаха)" - вот в этом и вся загадка этого апория Зенона. В такой постановке вопроса даже Усейну Болта не тягаться с черепахой...